Question

【題目】已知函數．

（1）若，求函數的極值和單調區間；

（2）若在區間上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極小值為，單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由．令．再利用導數工具可得：極小值和單調區間；（2）求導并令，再將命題轉化為在區間上的最小值小于．當，即時，恒成立，即在區間上單調遞減，再利用導數工具對 的取值進行分類討論.

試題解析：（1）當，．

令得，．

又的定義域為，由得，由得，．

所以時，有極小值為 ．

的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

（2），且，令，得到，若在區間上存在一點，使得成立，即在區間上的最小值小于 ．

當，即時，恒成立，即在區間上單調遞減，

故在區間上的最小值為，

由，得，即．

當即時，

①若，則對成立，所以在區間上單調遞減，

則在區間上的最小值為，

顯然，在區間的最小值小于0不成立．

②若，即時，則有

	-	0	+
	↘	極小值	↗

所以在區間上的最小值為，

由，得，解得，即，

綜上，由①②可知，符合題意