Question

【題目】若函數g（x）=alnx，對任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，則實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】a≤﹣1
【解析】解：由題意得到：a（x﹣lnx）≤x2﹣2x．
∵x∈[1，e]，
∴lnx≤1≤x且等號不能同時取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＜0，
因而a≤ （x∈[1，e]）
令f（x）= ，（x∈[1，e]），
又g′（x）= ，
當x∈[1，e]時，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，
從而g′（x）≥0（僅當x=1時取等號），
∴g（x）在[1，e]上為增函數，
∴g（x）的最小值為g（1）=﹣1，
∴a的取值范圍是a≤﹣1．
所以答案是：a≤﹣1．
【考點精析】本題主要考查了函數的值域的相關知識點，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的才能正確解答此題．