Question

【題目】江蘇省園博會有一中心廣場，南京園，常州園都在中心廣場的南偏西45°方向上，到中心廣場的距離分別為km，km；揚州園在中心廣場的正東方向，到中心廣場的距離為km．規劃建設一條筆直的柏油路穿過中心廣場，且將南京園，常州園，揚州園到柏油路的最短路徑鋪設成鵝卵石路（如圖(1)、(2)）．已知鋪設每段鵝卵石路的費用（萬元）與其長度的平方成正比，比例系數為2．設柏油路與正東方向的夾角，即圖(2)中∠COF為（(0，)），鋪設三段鵝卵石路的總費用為y（萬元）．

（1）求南京園到柏油路的最短距離關于的表達式；

（2）求y的最小值及此時tan的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）鋪設三條鵝卵石路的總費用為()萬元，此時的值為.

【解析】

（1）由∠COF=θ，南京園在中心廣場的南偏西45°方向上，且到中心廣場的距離為，求出∠AOE=，由此能求出南京園到柏油路的最短距離d1關于θ的表達式．

（2）分別設點B，C到直線EF的距離為d2，d3，則，求出y=2[（）2+（2）2+（）2]=20﹣10sin（2），θ∈（0，），由此能求出鋪設三條鵝卵石路的總費用y的最小值及此時tanθ的值．

（1）∵∠COF=θ，

南京園在中心廣場的南偏西45°方向上，且到中心廣場的距離為

∴∠AOE=，

∴南京園到柏油路的最短距離d1關于θ的表達式為d1=sin（﹣θ）．

（2）分別設點B，C到直線EF的距離為d2，d3．

由（1）知：，

∴y=2[（）2+（2）2+（）2]

=20[+]

=20﹣10（sin2θ+cos2θ）

=20﹣10sin（2），θ∈（0，），

∵∴，

∴當2=時，ymin=20﹣10（萬元）

此時2，

∴tan2θ==1，

解得：tan，

∴鋪設三條鵝卵石路的總費用為（20﹣10）萬元，此時tanθ的值為．