Question

已知函數f（x）=xlnx（x＞0）
（1）試求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）若g（x）=f′（x），直線y=kx+b與曲線g（x）相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）不同兩點，若x₀=

x1+x2

2

試證明k＞g′（x₀）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的幾何意義,函數在某點取得極值的條件

專題：導數的綜合應用

分析：（1）f'（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得：x=

1

e

，從而求出單調區間和極值；
（2）g（x）=f'（x）=lnx+1，令x₁＞x₂＞0，通過構造新函數F（x）=g（x₁）-g（x₂）-

2(x1-x2)

x1+x2

，整理證出即可．

解答： 解：（1）f'（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，解得：x=

1

e

，
∴減區間是(0，

1

e

]，增區間是[

1

e

，+∞)f極小值(

1

e

)=-

1

e

；
（2）g（x）=f'（x）=lnx+1，
令x₁＞x₂＞0，k=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

，g′(x0)=

2

x1+x2

構造函數F(x)=g(x1)-g(x2)-

2(x1-x2)

x1+x2

=lnx1-lnx2-

2(x1-x2)

x1+x2

，
同除x₂F(x)=ln

x1

x2

-

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

，
令

x1

x2

=t，
則h(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

，(t＞1)，
h′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴h（t）＞h（1）=0，
∴F（x）＞0，k＞g'（x₀）．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，不等式的證明，新函數的構造，是一道綜合題．