Question

【題目】如圖，三棱錐A﹣BCD中，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=CD=4，AC=4 ，CD=4 ，∠ACB=45°，E，F分別為MN的中點．
（1）求證：EF∥平面ABD；
（2）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接E，F，

∵E，F分別為AC，CD的中點，∴EF∥AD，

又AD平面ADB，EF平面ADB，∴EF∥面ABD

（2）解：取BC中點G，過點G作BF的垂線GH，點H為垂足，

∵AB=4，AC=4 ，∠ACB=45°，

∴由AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcos45°，得16=32+BC2﹣8BC，即BC=4．

∴AB2+BC2=AC2，即AB⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCD，且平面ABC∩平面BCD=BC，

∴AB⊥平面BCD，則EG⊥平面BCD，EG⊥BF，

又GH⊥BF，∴BF⊥平面EGH，則BF⊥EH，即∠EHG為二面角E﹣BF﹣C的平面角．

∵BD=4，BC=4，CD=4 ，∴BF= ．

則∠CBF=60°，∴GH=2× ．

Rt△EGH中， ．

【解析】（1）連接E，F，由E，F分別為AC，CD的中點，結合三角形中位線定理可得EF∥AD，再由線面平行的判定可得EF∥平面ABD；（2）由已知求解三角形可得AB⊥BC，結合△ABC和△BCD所在平面互相垂直可得AB⊥平面BCD，取BC中點G，過點G作BF的垂線GH，點H為垂足，則∠EHG為二面角E﹣BF﹣C的平面角，求解直角三角形得答案．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．