Question

（2011•江蘇二模）已知方程（

1

2

）^x=x

1

3

的解x∈（

1

n+1

，

1

n

），則正整數n=

2

．

Answer 1

分析：先將方程的根的問題轉化為函數的零點問題，再判斷函數的單調性確定若存在零點，則只有一個，最后利用零點存在性定理，證明零點所在的范圍，對照已知求得n值

解答：解：方程（

1

2

）^x=x

1

3

的解即函數f（x）=（

1

2

）^x-x

1

3

的零點
∵y=（

1

2

）^x為定義域上的減函數，y=-x

1

3

為定義域上的減函數
∴函數f（x）為定義域R上的單調減函數
又∵f（

1

3

）=(

1

2

)

1

3

-(

1

3

)

1

3

＞0，（考慮冪函數y=x

1

3

為R上的增函數）
f（

1

2

）=(

1

2

)

1

2

-(

1

2

)

1

3

＜0，（考慮指數函數y=（

1

2

）^x為R上的減函數）
即f（

1

3

）×f（

1

2

）＜0
∴函數f（x）=（

1

2

）^x-x

1

3

在區間（

1

3

，

1

2

）上有且只有一個零點
∴

1

n

=

1

2

，即n=2
故答案為 n=2

點評：本題考查了方程的根與函數零點間的關系，零點存在性定理，二分法求函數的零點的范圍，指數函數與冪函數的單調性