Question

【題目】某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立．

（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點．

（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．

（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;

（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

Answer 1

【答案】】(1).

(2) （i）490.

（ii）應該對余下的產品作檢驗.

【解析】分析：(1)利用獨立重復實驗成功次數對應的概率，求得，之后對其求導，利用導數在相應區間上的符號，確定其單調性，從而得到其最大值點，這里要注意的條件；

(2)先根據第一問的條件，確定出，在解（i）的時候,先求件數對應的期望，之后應用變量之間的關系，求得賠償費用的期望；在解（ii）的時候，就通過比較兩個期望的大小，得到結果.

詳解：（1）20件產品中恰有2件不合格品的概率為.因此

.

令，得.當時，；當時，.

所以的最大值點為.

（2）由（1）知，.

（i）令表示余下的180件產品中的不合格品件數，依題意知，，即.

所以.

（ii）如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費為400元.

由于，故應該對余下的產品作檢驗.