Question

【題目】設函數（其中為實數）.

（1）若，求零點的個數；

（2）求證：若不是的極值點，則無極值點.

Answer 1

【答案】（1）有個零點；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求得函數的導數，利用導數分析函數的單調性，結合零點存在定理判斷出函數在區間和上的零點個數，由此可得出結論；

（2）分析出當時，是函數的極值點，在時，求得，可知函數在上單調遞增，令得，對與的大小進行分類討論，利用導數分析函數的單調性，由此可證得結論.

（1）由題意得，所以，

又，且，所以恒成立，從而函數在上單調遞增，

所以當時，；當時，.

則函數在上單調遞減，在上單調遞增，

因為，，函數在上單調遞減且圖象連續不斷，

所以函數在上恰有個零點，

因為，，函數在上單調遞增且圖象連續不斷，

所以函數在上恰有個零點，

綜上所述，當時，函數有個零點；

（2）由（1）知，當時，函數在上單調遞增，

又，當時，；當時，.

所以，是函數的極小值點.

同理當時，也是函數的極小值點.

當時，由得，且在上單調遞增.

所以當時，；當時，，

從而函數在上單調遞減；在上單調遞增.

若，即，則當時，，當時，，則是函數的極值點；

同理若，即，則也是函數的極值點；

若，即，，則函數在上單調遞增，此時不是函數的極值點.

綜上可知，若不是函數的極值點，則，函數在上單調遞增，從而函數無極值點.