Question

【題目】已知橢圓 的右焦點F（1，0），橢圓Γ的左，右頂點分別為M，N．過點F的直線l與橢圓交于C，D兩點，且△MCD的面積是△NCD的面積的3倍．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）若CD與x軸垂直，A，B是橢圓Γ上位于直線CD兩側的動點，且滿足∠ACD=∠BCD，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）因為橢圓 的右焦點F（1，0），
所以c=1，
因為△MCD的面積是△NCD的面積的3倍，
所以MF=3NF，即a+c=3（a﹣c），所以a=2c=2，所以b2=3，
則橢圓Γ的方程為 ．
（II）解法一：當∠ACD=∠BCD，則kAC+kBC=0，
設直線AC的斜率為k，則直線BC的斜率為﹣k，
不妨設點C在x軸上方， ，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
則AC的直線方程為 ，代入 中整理得（3+4k2）x2﹣4k（2k﹣3）x+4k2﹣12k﹣3=0， ；
同理 ．
所以 ，
則 = = ，
因此直線AB的斜率是定值 ．
（II）解法二：依題意知直線AB的斜率存在，所以設AB方程：y=kx+m，
代入 中，整理得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
所以 ， ，
△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=16（12k2﹣3m2+9）＞0
當∠ACD=∠BCD，則kAC+kBC=0，不妨設點C在x軸上方， ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，
整理得12k2+12（m﹣2）k+9﹣6m=0，
即（6k﹣3）（2k+2m﹣3）=0，所以2k+2m﹣3=0或6k﹣3=0．
當2k+2m﹣3=0時，直線AB過定點 ，不合題意；
當6k﹣3=0時， ，符合題意，
所以直線AB的斜率是定值
【解析】（I）由橢圓右焦點F（1，0），△MCD的面積是△NCD的面積的3倍，求出a，b，由此能求出橢圓Γ的方程．（II）法一：當∠ACD=∠BCD，則kAC+kBC=0，設直線AC的斜率為k，則直線BC的斜率為﹣k，則AC的直線方程為 ，代入 中整理得（3+4k2）x2﹣4k（2k﹣3）x+4k2﹣12k﹣3=0，由此能求出直線AB的斜率是定值 ．法二：設AB方程：y=kx+m，代入 中，整理得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用韋達定理、根的判別式、直線方程、橢圓性質，結合已知條件，能求出直線AB的斜率是定值 ．