Question

過雙曲線C：x2-

y2

3

=1的右焦點F作直線l與雙曲線C交于P、Q兩點，

OM

=

OP

+

OQ

，求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：先看當l的斜率存在時，設出P，Q，M的坐標，進而可求得PQ的中點的坐標，把P，Q代入雙曲線方程，聯立可求得

y2-y1

x2-x1

即直線PQ的斜率，又根據F，N的坐標可表示出直線FN的斜率，二者相等進而求得x和y的關系式，即點M的軌跡方程．

解答：解．：當l垂直于x軸時M（-4，0），當l斜率存在時，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y）．PQ的中點N（

x

2

，

y

2

）
由

x 2 1 - y 2 1 3 =1 x 2 2 - y 2 2 3 =1

⇒

y2-y1

x2-x1

=-

3x

y

=kPQ．又kPQ=kFN=

y

x-4

，
∴-

3x

y

=

y

x-4

，得M點的軌跡方程是

(x+2)2

4

-

y2

12

=1，M（-4，0）也符合．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解此類題要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高．