Question

雙曲線C：x²-y²=1的漸近線方程為

x±y=0

；若雙曲線C的右頂點為A，過A的直線l與雙曲線C的兩條漸近線交于P，Q兩點，且

PA

=2

AQ

，則直線l的斜率為

±3

．

Answer 1

分析：把雙曲線標準方程中的1，換成0，即得漸進性的方程；由

PA

=2

AQ

，可得A分PQ成的比為2，由定比分點坐標公式解方程求得直線l的斜率k的值．

解答：解：把雙曲線C的標準方程：x²-y²=1中的1換成0，即得x±y=0，即為雙曲線C：x²-y²=1的漸近線方程．
又A（1，0），設直線l的方程 y=k（x-1），
由

x-y=0 y=k(x-1)

求得 P（

k

k-1

，

k

k-1

），由

x+y=0 y=k(x-1)

求得 Q （

k

k+1

，

k

k+1

）．
由

PA

=2

AQ

可得，A分PQ成的比為2，由定比分點坐標公式可得點A的橫坐標1=

k k-1 +2 k k+1

1+2

，
解得 k=±3．
故答案為：x±y=0，±3．

點評：本題考查雙曲線的標準方程以及簡單性質的應用，求出P、Q兩點的坐標，是解題的關鍵．