Question

在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半輻為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線，過點(diǎn)P(-2，-4)的直線 的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），直線與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)．
(Ⅰ)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；
(Ⅱ)若成等比數(shù)列，求a的值

Answer 1

(Ⅰ) ， ；(Ⅱ)1

解析試題分析：(Ⅰ) 將兩邊乘以得，，將代入上式得曲線C的直角坐標(biāo)方程，消去直線的參數(shù)方程中的參數(shù)得直線普通方程； (Ⅱ)將將直線的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程中，整理關(guān)于t的二次方程，設(shè)M，N兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，利用一元二次方程根與系數(shù)將，用表示出來，由成等比數(shù)列，知，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，將上式用表示出來，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于與的方程，利用前面，關(guān)于的表示式，將上述方程化為關(guān)于的方程，即可解出的值．
試題解析：(Ⅰ) 將兩邊乘以得，，
將代入上式得曲線C的直角坐標(biāo)方程為，
消去直線的參數(shù)方程中的參數(shù)得直線普通方程為；（3分）
(Ⅱ)將直線的參數(shù)方程代入中，得，
設(shè)M，N兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，則有=，=，（6分）
因為成等比數(shù)列，所以，
∴，
即=，解得=1或=-4（舍）．(10分)
考點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)互化，參數(shù)方程與普通方程互化，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，設(shè)而不求思想