Question

過(guò)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰好過(guò)左焦點(diǎn)，則橢圓的離心率等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，可取M（c，

b2

a

）．又以MN為直徑的圓恰好過(guò)左焦點(diǎn)，可得

b2

a

=2c，再利用b²=a²-c²，e=

c

a

即可得出．

解答： 解：∵過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，
∴可取M（c，

b2

a

）．
又以MN為直徑的圓恰好過(guò)左焦點(diǎn)，∴

b2

a

=2c，
化為a²-c²=2ac，∴e²+2e-1=0，e＞0．
解得e=

-2+2 2

2

=

2

-1．
故答案為：

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．