Question

【題目】如圖所示，在所有棱長都為的三棱柱中，側棱，點為棱的中點．

（1）求證：∥平面；

（2）求四棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：本題主要考查線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直、四棱錐的體積等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯思維能力、計算能力．第一問，作出輔助線，根據是的中位線，得∥，再根據線面平行的判定，得∥平面；由為正三角形，得，而平面，可轉化為平面，則利用線面垂直的性質，得，利用線面垂直的判定得平面，則可以判斷是四棱錐的高，最后利用四棱錐的體積公式計算即可．

試題解析：（1）連結，設與交于點，

則點是的中點，連結，

因為點為的中點，

所以是的中位線，

所以∥，

因為平面，面，

所以∥平面．

（2）取線段中點，連結，

，點為線段中點，

．

又平面

即平面，平面

，

，

平面，則是四棱錐的高

．