Question

【題目】已知函數， ．

（Ⅰ）當時，討論函數的單調性；

（Ⅱ）若在區間上恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出，對分四種情況討論，分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間；（Ⅱ）令 ，原問題等價于在區間上恒成立，因為，要想在區間上恒成立，只需，可得當時，利用導數研究函數的單調性，從而求出，進而可得結論.

試題解析：（Ⅰ） ，

①當，即時， 時， ， 時， ，

所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；

②當，即時， 和時， ， 時， ，

所以在區間上單調遞減，在區間和上單調遞增；

③當，即時， 和時， ， 時， ，

所以在區間上單調遞減，在區間和上單調遞增；

④當，即時， ，所以在定義域上單調遞增；

綜上：①當時， 在區間上單調遞減，在區間和上單調遞增；

②當時， 在定義域上單調遞增；

③當時， 在區間上單調遞減，在區間和上單調遞增；

④當時， 在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．

（Ⅱ）令 ，

原問題等價于在區間上恒成立，可見，

要想在區間上恒成立，首先必須要，

而，

另一方面當時， ，由于，可見，

所以在區間上單調遞增，故，所以在區間上單調遞減，

∴成立，故原不等式成立．

綜上，若在區間上恒成立，則實數的取值范圍為