Question

【題目】如圖所示，直棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，且，側(cè)棱長(zhǎng)為6， ，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).

（1）證明： 平面；

（2）求二面角.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，先證明 ,再證明平面 .(2)第（2）問(wèn)，一般利用向量法求二面角的平面角的余弦值.

試題解析：

(1)由題知， ，

為的中點(diǎn)，∴，∴，

又∵側(cè)棱與底面垂直,

∴平面平面，且交線為，

∴平面

又平面，∴ ，

又∵， 為d 中點(diǎn)，∴，

又∵，

∴平面.

(2)由題及（1）的證明可知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），

則

∵分別為的中點(diǎn)，

∴.

∴，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，

取，得，

由（1）的證明可知為平面的一個(gè)法向量，

設(shè)二面角為，則易知為銳角，

則有.

∴二面角的余弦值為.