Question

已知數(shù)列中，，設(shè)．
（Ⅰ）試寫出數(shù)列的前三項(xiàng)；
（Ⅱ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)的前項(xiàng)和為，
求證：．

Answer 1

（Ⅰ），，；（Ⅱ）證明見試題解析，；（Ⅲ）證明見試題解析.

解析試題分析：（Ⅰ）由遞推公式求出，再利用可直接求出；（Ⅱ）要證數(shù)列是等比數(shù)列，可由數(shù)列的遞推關(guān)系建立起與的關(guān)系.
，從而證得數(shù)列是等比數(shù)列. 然后選求出，由可求出；（Ⅲ）本題最好是能求出，但由數(shù)列的通項(xiàng)公式可知不可求，結(jié)合結(jié)論是不等式形式可以用放縮法使得和可求，如
，又
，即有（等號(hào)只在時(shí)取得），然后求和，即可證得結(jié)論.
試題解析：（Ⅰ）由，得，.
由，可得，，.             3分
（Ⅱ）證明：因，故
.           5分
顯然，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，即
.                                 7分
解得.                                           8分
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9f/e/yfc022.png" style="vertical-align:middle;" /> 
,
所以   11分
又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
故            14分[來源
考點(diǎn)：（Ⅰ）數(shù)列的項(xiàng)；（Ⅱ）等比數(shù)列的定義；（Ⅲ）放縮法.