Question

已知某質點的運動方程為s（t）=t³+bt²+ct+d，如圖是其運動軌跡的一部分，若t∈[

1

2

，4]時，s（t）＜3d²恒成立，求d的取值范圍．

Answer 1

分析：結合圖象發現s（t）在t=1和t=3處取得極值，可建立兩個等式，解出b與c的值，根據單調性求出s（t）在[

1

2

，4]上的最大值，使s（t）_max＜3d²，解出不等式即可．

解答：解：s'（t）=3t²+2bt+c．
由圖象可知，s（t）在t=1和t=3處取得極值．
則s'（1）=0，s'（3）=0．
即

3+2b+c=0 27+6b+c=0

解得

b=-6 c=9

s'（t）=3t²-12t+9=3（t-1）（t-3）．
當t∈[

1

2

，1）時，s'（t）＞0．
當t∈（1，3）時，s'（t）＜0．
當t∈（3，4）時，s'（t）＞0．
則當t=1時，s（t）取得極大值為4+d．
又s（4）=4+d，
故t∈[

1

2

，4]時，s（t）的最大值為4+d．
已知s（t）＜3d²在

1

2

，4]上恒成立，
∴s（t）_max＜3d²．即4+d＜3d²．
解得d＞

4

3

或d＜-1．
∴d的取值范圍是{d|d＞

4

3

或d＜-1}．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及函數恒成立問題等有關知識，屬于中檔題．