Question

（2007•揭陽二模）如圖（1）示，定義在D上的函數f（x），如果滿足：對?x∈D，?常數A，都有f（x）≥A成立，則稱函數f（x）在D上有下界，其中A稱為函數的下界．（提示：圖（1）、（2）中的常數A、B可以是正數，也可以是負數或零）

（Ⅰ）試判斷函數f（x）=x³+

48

x

在（0，+∞）上是否有下界？并說明理由；
（Ⅱ）又如具有如圖（2）特征的函數稱為在D上有上界．請你類比函數有下界的定義，給出函數f（x）在D上有上界的定義，并判斷（Ⅰ）中的函數在（-∞，0）上是否有上界？并說明理由；
（Ⅲ）已知某質點的運動方程為S（t）=at-2

t+1

，要使在t∈[0，+∞）上的每一時刻該質點的瞬時速度是以A=

1

2

為下界的函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）解法1：利用導數確定函數的最小值，即可得出結論；
解法2：利用基本不等式求最值，即可得出結論；
（II）類比函數有下界的定義，看過函數有上界的定義，并可判斷（Ⅰ）中的函數在（-∞，0）上有上界；
（III）求導函數，依題意得對?t∈[0，+∞）有a-

1

t+1

≥

1

2

，分離參數求最值，即可得出結論．

解答：解：（Ⅰ）
解法1：∵f′(x)=3x2-

48

x2

，由f'（x）=0得3x2-

48

x2

=0，x⁴=16，∵x∈（0，+∞），
∴x=2，-------------------------------（2分）
∵當0＜x＜2時，f'（x）＜0，∴函數f（x）在（0，2）上是減函數；
當x＞2時，f'（x）＞0，∴函數f（x）在（2，+∞）上是增函數；
∴x=2是函數的在區間（0，+∞）上的最小值點，f(x)min=f(2)=8+

48

2

=32
∴對?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，-----------------------------------（4分）
即在區間（0，+∞）上存在常數A=32，使得對?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函數f(x)=x3+

48

x

在（0，+∞）上有下界．---------------------------（5分）
解法2：∵x＞0∴f(x)=x3+

48

x

=x3+

16

x

+

16

x

+

16

x

≥4

4	x3• 16 x • 16 x • 16 x

=32
當且僅當x3=

16

x

即x=2時“=”成立
∴對?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
即在區間（0，+∞）上存在常數A=32，使得對?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函數f(x)=x3+

48

x

在（0，+∞）上有下界．]
（Ⅱ）類比函數有下界的定義，函數有上界可以這樣定義：
定義在D上的函數f（x），如果滿足：對?x∈D，?常數B，都有f（x）≤B成立，則稱函數f（x）在D上有上界，其中B稱為函數的上界．---------------------------（8分）
設x＜0，則-x＞0，由（Ⅰ）知，對?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
∴f（-x）≥32，∵函數f(x)=x3+

48

x

為奇函數，∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）≥32，∴f（x）≤-32------------------------------------------（9分）
即存在常數B=-32，對?x∈（-∞，0），都有f（x）≤B，
∴函數f(x)=x3+

48

x

在（-∞，0）上有上界．---------------------------（10分）
（Ⅲ）質點在t∈[0，+∞）上的每一時刻的瞬時速度v=S′(t)=a-

1

t+1

----------------（11分）
依題意得對?t∈[0，+∞）有a-

1

t+1

≥

1

2

∴a≥

1

t+1

+

1

2

對?t∈[0，+∞）恒成立
令g(t)=

1

t+1

+

1

2

，
∵函數g（t）在[0，+∞）上為減函數．
∴g(t)max=g(0)=1+

1

2

=

3

2

∴a≥

3

2

．------------------------------------------------（14分）

點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，考查導數知識的運用，考查函數的最值，屬于中檔題．