Question

（選修4-2：矩陣與變換）
已知矩陣A=的一個特征值為λ₁=-1，其對應的一個特征向量為，已知，求A⁵β．

Answer 1

【答案】分析：利用特征值、特征向量的定義，構建方程組，由此可求矩陣A．再求矩陣A的特征多項式，從而求得特征值與特征向量，利用矩陣A的特征值與特征向量，進而可求A⁵β．
解答：解：依題意：Aα₁=-α₁，…（4分）
即=-，
∴，∴…（8分）
A的特征多項式為f（λ）=（λ-1）λ-2=λ²-λ-2=0，
則λ=-1或λ=2．
λ=2時，特征方程，屬于特征值λ=2的一個特征向量為，
∵=-2+3，
∴A⁵β=-2×（-1）⁵+3×2⁵=．
點評：本題考查待定系數法求矩陣，考查特征值與特征向量，理解特征值、特征向量的定義是關鍵．