Question

（14分）已知函數，其中a是實數．設A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數圖象上的兩點，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）指出函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x₂＜0，證明：x₂﹣x₁≥1；
（Ⅲ）若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）函數f（x）的單調減區間（﹣∞，﹣1），函數f（x）的單調增區間[﹣1，0），（0，+∞）
（Ⅱ）見解析
（Ⅲ）（﹣ln2﹣1，+∞）

（I）函數f（x）的單調減區間（﹣∞，﹣1），函數f（x）的單調增區間[﹣1，0），（0，+∞）；
（II）由導數的幾何意義知，點A處的切線的斜率為f′（x₁），點B處的切線的斜率為f′（x₂），
函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直時，有f′（x₁）f′（x₂）=﹣1，
當x＜0時，（2x₁+2）（2x₂+2）=﹣1，∵x₁＜x₂＜0，∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，
∴x₂﹣x₁=[﹣（2x₁+2）+（2x₂+2）]≥=1，
∴若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，有x₂﹣x₁≥1；
（III）當x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂時，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
當x₁＜0時，函數f（x）在點A（x₁，f（x₁））處的切線方程為y﹣（x+2x₁+a）=（2x₁+2）（x﹣x₁）；
當x₂＞0時，函數f（x）在點B（x₂，f（x₂））處的切線方程為y﹣lnx₂=（x﹣x₂）；
兩直線重合的充要條件是，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜＜2，由①②得a=lnx₂+（）²﹣1=﹣ln+（）²﹣1，
令t=，則0＜t＜2，且a=t²﹣t﹣lnt，設h（t）=t²﹣t﹣lnt，（0＜t＜2）
則h′（t）=t﹣1﹣=，∴h（t）在（0，2）為減函數，
則h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，
∴若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，a的取值范圍（﹣ln2﹣1，+∞）．