Question

如圖1，、是橢圓的長軸上兩點(diǎn)，分別為橢圓的短軸和長軸的端點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，若的最大值與最小值分別為3、.

(1)求橢圓的離心率；

(2)如圖2，點(diǎn)F（1，0），動(dòng)點(diǎn)Q、R分別在拋物線及橢圓 的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且QR∥x軸，求△FQR的周長l的取值范圍．

 

(圖1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(圖2)

Answer 1

（1）設(shè)，則

∴，                    ………… 2分

∵的最大值與最小值分別為3、，

∴ 的最大值與最小值分別為4、，   ………… 3分

而 表示線段CD上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離OP的平方

∴點(diǎn)OP的最大值為OD ＝2，即………… 5分

OP的最小值即為O到線段CD的距離，

由平面幾何知識(shí)得OC＝，即，…………7分

得，則橢圓的離心率.      ………… 9分

（2）設(shè)，由拋物線的定義知等于點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，

∴等于點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為………… 11分

由橢圓的第二定義知，

∴△NAB的周長l＝＝.………… 13分

由得：拋物線與橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即得.

所以△FQR的周長l的取值范圍為.………… 16分