Question

已知數列{a_n}的前項和為S_n，點（a_n+2，S_n+1）在直線y=4x-5上，其中n∈N，令b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1．
（1）求證數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）先根據已知條件得到S_n+1=4（a_n+2）-5=4a_n+3； 進而得到S_n=4a_n-1+3；另個等式相結合即可得到數列{a_n-2a_n-1}是以2為首相，2為公比的等比數列，即數列{b_n}是等比數列；
（2）先求出數列{nb_n}的通項公式，再利用錯位相減法求數列{nb_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）因為點（a_n+2，S_n+1）在直線y=4x-5上；
∴S_n+1=4（a_n+2）-5=4a_n+3；  ①
s₂=4a₁+3=a₁+a₂⇒a₂=6；
∴S_n=4a_n-1+3；②
∴①-②：a_n+1=4a_n-4a_n-1；
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）；
數列{a_n-2a_n-1}是以2為首相，2為公比的等比數列；
即數列{b_n}是等比數列；
所以：b_n=a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹；
（2）∵nb_n=n•2ⁿ⁺¹；
∴T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹；③
∴2T_n=1×2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²；④
③-④：-T_n=1×2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=

22(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²=4+（1-n）•2ⁿ⁺²；
∴Tn=4+(n-1)•2n+2．

點評：本題主要考查數列通項公式與前n項和之間的關系，以及錯位相減法求和．