Question

若函數f（x）在定義域D內某區間I上是增函數，而F(x)=

f(x)

x

在I上是減函數，則稱y=f（x）在I上是“弱增函數”
（1）請分別判斷f（x）=x+4，g（x）=x²+4x+2在x∈（1，2）是否是“弱增函數”，并簡要說明理由．
（2）若函數h(x)=x2+(sinθ-

1

2

)x+b（θ、b是常數）在（0，1]上是“弱增函數”，請求出θ及正數b應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）依據“弱增函數”的定義逐個判斷即可；
（2）由于h（x）在（0，1]上是“弱增函數”，所以h（x）在（0，1]上單調遞增，

h(x)

x

在（0，1]上單調遞減，由此可求出θ及正數b滿足的條件．

解答：解：（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函數，且F（x）=

f(x)

x

=1+

4

x

在（1，2）上是減函數，
所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函數”；
g（x）=x²+4x+2在（1，2）上是增函數，但

g(x)

x

=x+4+

2

x

在（1，2）上不單調，所以g（x）=x²+4x+2在（1，2）上不是“弱增函數”．
（2）因為h(x)=x2+(sinθ-

1

2

)x+b（θ、b是常數）在（0，1]上是“弱增函數”
所以h(x)=x2+(sinθ-

1

2

)x+b在（0，1]上是增函數，且F（x）=

h(x)

x

=x+

b

x

+(sinθ-

1

2

)在（0，1]上是減函數，
由h(x)=x2+(sinθ-

1

2

)x+b在（0，1]上是增函數，得h′（x）≥0即2x+（sinθ-

1

2

）≥0在（0，1]上恒成立，
所以

-(sinθ- 1 2 )

2

≤0，得sinθ≥

1

2

，解得θ∈[2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

]，k∈Z．
由F（x）=

h(x)

x

在（0，1]上是減函數，得F′（x）≤0在（0，1]上恒成立，即1-

b

x2

≤0，b≥x²在（0，1]上恒成立，
所以b≥1．
綜上所述，b≥1且θ∈[2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

]    k∈Z時，h（x）在（0，1]上是“弱增函數”．

點評：本題以新定義的形式考查函數的單調性，考查運用所學知識分析解決新問題的能力．