Question

函數y=ax³-x²+cx（a≠0）的圖象如圖所示，它與x軸僅有兩個公共點O（0，0）與A（x_A，0）（x_A＞0）；（1）用反證法證明常數c≠0；（2）如果xA=

1

2

，求函數的解析式．

Answer 1

（1）假設c=0，則y=ax³-x²=x²（ax-1）；
∴xA=

1

a

＞0，當x＜xA時，f(x)＜0這與圖象所給的：
當0＜x＜x_A時，f（x）＞0矛盾，∴c≠0
（2）由（1）知c≠0，∴y=x（ax²-x+c）
∵圖象與x軸僅有兩個公共點，
∴方程ax²-x+c=0（a≠0）有二等根

1

2

．
由韋達定理

1 a = 1 2 + 1 2 c a = 1 2 × 1 2

，∴

a=1 c= 1 4

，∴y=x3-x2+

1

4

x