Question

設定義域為R的函數f（x），g（x）都有反函數，且函數f（x-1）和g^-1（x-3）圖象關于直線y=x對稱，若g（5）=2005，則f（4）為（　　）

A．2002

B．2004

C．2007

D．2008

Answer 1

分析：根據函數f（x-1）和g^-1（x-3）圖象關于直線y=x對稱可得函數f（x-1）和g^-1（x-3）互為反函數故可令g-1（x-3）=y求出其反函數y=g（x）+3 則f（x-1）=g（x）+3然后令x=5再結合g（5）=2005即可得解．

解答：解：設g-1（x-3）=y 則g（g-1（x-3））=g（y）
∴x-3=g（y）
∴x=g（y）+3
得y=g（x）+3 （為g-1（x-3）的反函數）
又∵f（x-1）與g-1（x-3）的圖象關于直線y=x對稱
∴f（x-1）=g（x）+3
又 g（5）=2005
∴f（4）=f（5-1）=g（5）+3
∴f（4）=2008
故選D

點評：本題主要考察反函數的定義和性質．解題的關鍵是要利用互為反函數的兩個函數的圖象關于y=x對稱得出函數f（x-1）和g^-1（x-3）互為反函數然后依次得出f（x-1）=g（x）+3！