Question

【題目】已知數列和,,,(且), , .

(I)求;

(Ⅱ)猜想數列的通項公式,并證明;

(Ⅲ)設函數,若對任意恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】分析：（1）直接將，代入遞推公式，即可的結果；（2）先證明是以為首項,以為公比的等比數列，可得,即: ；（3）原不等式等價于恒成立,所以且，判斷的符號，可得 ，結合函數的單調性，即可的結果.

詳解：（1）

（2）猜想：

證明：由提意

所以，即對所有且都成立，

易知,所以是以為首項,以為公比的等比數列

所以,即:

(3)

由,所以，

即恒成立,所以且

因為在遞減, 遞增,所以在

遞減, 遞增.

又因為 ，當時，當

時，所以 ，而當

時，.

所以 ,所以，

注意到,所以當時, ,而，所以,即

，所以

綜上.