Question

【題目】已知函數f（x）= ﹣ax+cosx（a∈R），x∈[﹣ ， ]．
（1）若函數f（x）是偶函數，試求a的值；
（2）當a＞0時，求證：函數f（x）在（0， ）上單調遞減．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為函數f（x）是偶函數，

所以f（﹣x）= ﹣a（﹣x）+cos（﹣x）

= +ax+cosx

=f（x）= ﹣ax+cosx恒成立，

所以a=0；

（2）解：由題意可知 ，

設 ，

則 ；注意到 ，a＞0；

由g'（x）＜0，即 ，解得 ；

由g'（x）＞0，即 ，解得 ；

所以g（x）在 上單調遞減， 上單調遞增；

所以當 ，g（x）＜g（0）=0﹣a＜0，

所以f（x）在 單調遞減，

當 ， ，

所以f（x）在 單調遞減，

所以當a＞0時，函數f（x）在 上單調遞減

【解析】（1）根據偶函數的定義，f（﹣x）=f（x）恒成立，求出a的值；（2）利用導數大于0或小于0，判斷函數f（x）是單調增函數單調減函數即可．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．