Question

已知，若過定點、以（λ∈R）為法向量的直線l₁與過點以為法向量的直線l₂相交于動點P．
（1）求直線l₁和l₂的方程；
（2）求直線l₁和l₂的斜率之積k₁k₂的值，并證明必存在兩個定點E，F，使得恒為定值；
（3）在（2）的條件下，若M，N是上的兩個動點，且，試問當|MN|取最小值時，向量與是否平行，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據所給直線上的定點坐標以及法向量，即可寫出兩直線方程．
（2）根據（1）中所求直線l₁和l₂的方程，可分別求出兩直線的斜率，再計算k₁k₂，為定值，再用p點坐標表示k₁k₂，與前面所求k₁k₂的值相等，即可得到P點的軌跡方程．為橢圓，根據橢圓定義，可知橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為定植，所以必存在兩個定點E，F，使得恒為定值．
（3）因為M，N的橫坐標相同，設出它們的縱坐標，先把|MN|用M，N的縱坐標表示，根據且，求出M，N縱坐標的關系式，代入|MN|，即可求出|MN|的最小值，以及相應的M，N縱坐標，并據此求出向量的坐標，根據兩向量平行的坐標關系，即可判斷向量與是否平行．
解答：解：（1）直線l₁的法向量，l₁的方程：，
即為；
直線l₂的法向量，l₂的方程：，
即為． 
（2）．   
設點P的坐標為（x，y），由，得．
由橢圓的定義的知存在兩個定點E、F，使得恒為定值4．
此時兩個定點E、F為橢圓的兩個焦點．
（3）設，，則，，
由，得y₁y₂=-6＜0．
|MN|²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=24；
當且僅當或時，|MN|取最小值．，故與平行．
點評：本題主要考查了橢圓定義的應用，以及直線與圓錐曲線相交弦長的求法．