Question

已知動圓過定點F（0，2），且與定直線L：y=-2相切．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若AB是軌跡C的動弦，且AB過F（0，2），分別以A、B為切點作軌跡C的切線，設兩切線交點為Q，證明：AQ⊥BQ．

Answer 1

分析：（I）由題意可得：動圓圓心到定點（0，2）與到定直線y=-2的距離相等，利用拋物線的定義求軌跡方程即可；
（II）設AB：y=kx+2，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根與系數的關系利用切線的幾何意義即可求得過拋物線上A、B兩點的切線斜率關系，從而解決問題．

解答：解：（I）依題意，圓心的軌跡是以F（0，2）為焦點，L：y=-2為準線的拋物線上（2分）
因為拋物線焦點到準線距離等于4，所以圓心的軌跡是x²=8y（5分）
（II）∵直線AB與x軸不垂直，設AB：y=kx+2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（6分）
由

y=kx+2 y= 1 8 x2.

可得x²-8kx-16=0，x₁+x₂=8k，x₁x₂=-16（8分）
拋物線方程為y=

1

8

x2，求導得y′=

1

4

x．
所以過拋物線上A、B兩點的切線斜率分別是
k1=

1

4

x1，k2=

1

4

x2，k1•k2=

1

4

x1•

1

4

x2=

1

16

x1•x2=-1
所以，AQ⊥BQ

點評：本題考查軌跡方程的求法，以及拋物線定義的應用，體現分類討論的數學思想．定義法  若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求．