Question

【題目】如圖，矩形中，為的中點，將沿直線翻折成，連結，為的中點，則在翻折過程中，下列說法中所有正確的序號是_______.

①存在某個位置，使得；

②翻折過程中，的長是定值；

③若，則；

④若，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積是.

Answer 1

【答案】②④

【解析】

對于①，取AD中點E，連接EC交MD與F，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三線NE，NF，NC共面共點，不可能，

對于②，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NEAB1（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可得NC是定值．

對于③，取AM中點O，連接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，從而AD＝MD，顯然不成立．

對于④：當平面B1AM⊥平面AMD時，三棱錐B1﹣AMD的體積最大，可得球半徑為1，表面積是4π．

對于①：如圖1，取AD中點E，連接EC交MD與F，則NE∥AB1，NF∥MB1，

如果CN⊥AB1，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三線NE，NF，NC共面共點，不可能，故①錯．

對于②：如圖1，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NEAB1（定值），AM＝EC（定值），

由余弦定理可得NC2＝NE2+EC2﹣2NEECcos∠NEC，所以NC是定值，故②正確．

對于③：如圖2，取AM中點O，連接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，從而AD＝MD，顯然不成立，可得③不正確．

對于④：當平面B1AM⊥平面AMD時，三棱錐B1﹣AMD的體積最大，易得AD中點H就是三棱錐B1﹣AMD的外接球的球心，球半徑為1，表面積是4π．故④正確．

故答案為：②④．