Question

【題目】如圖，橢圓W：的焦距與橢圓Ω：+y2＝1的短軸長相等，且W與Ω的長軸長相等，這兩個橢圓的在第一象限的交點為A，直線l經過Ω在y軸正半軸上的頂點B且與直線OA（O為坐標原點）垂直，l與Ω的另一個交點為C，l與W交于M，N兩點．

（1）求W的標準方程：

（2）求．

Answer 1

【答案】（1）；（2） .

【解析】

（1）由題意可得，求出a2，b2，即可得到W的標準方程，

（2）先求出直線l的方程為y＝﹣3x+1，分別與橢圓W和橢圓Ω，聯立方程組，求出BC和MN，比較即可

（1）由題意可得，

∴

故W的標準方程為．

（2）聯立得

∴，

∴，

易知B（0，1），

∴l的方程為y＝﹣3x+1．

聯立，得37x2﹣24x＝0，

∴x＝0或，

∴，

聯立，得31x2﹣18x﹣9＝0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），

則，，

∴，

故．