Question

【題目】對于函數、、，如果存在實數使得，那么稱為、的生成函數．

(1) 下面給出兩組函數， 是否分別為、的生成函數？并說明理由；

第一組： ， ，

第二組： ， ， ；

(2) 設， ， ，生成函數．若不等式在上有解，求實數的取值范圍；

(3) 設， ，取，生成函數圖像的最低點坐標為．若對于任意正實數，且，試問是否存在最大的常數，使恒成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) (3) 為289

【解析】試題分析：（1）由條件利用生成函數的定義，判斷生成函數是否分別為是、的生成函數，從而得出結論；（2）有解等價于在上有解，只需小于函數在的最大值即可；（3）先求出函數的最小值為289，只需 即可.

試題解析：(1)第一組： 是、的生成函數，因為存在使

第二組： 不是、的生成函數，因為若存在使得，則有

故，而此方程無解，所以不是、的生成函數 .

(2) 依題意，有在上有解

化簡得： 即在上有解

函數在的最大值為

故實數的取值范圍為

(3) 存在最大的常數為289

依題意， ，由當且僅當即時等號成立得：

，解得： ，故

正數，滿足/span>，故當且僅當時等號成立

函數的最小值為289，故最大的常數為289．

【方法點晴】本題主要考查對數的運算、二次函數的性質以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數形結合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數.本題是利用方法 ① 求得 的最大值.