Question

當0≤a＜

1

2

時，討論函數f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）的單調性．

Answer 1

分析：利用導數的運算法則得出f′（x），分a=0，0＜a＜

1

2

討論起單調性．當a=0時，容易得出單調性；當0＜a＜

1

2

時，分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0的區間即可得出單調區間．

解答：解：f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

=-

[ax+(a-1)](x-1)

x2

（x＞0），
令g（x）=ax²-x+1-a，
①當a=0時，g（x）=-x+1，當x∈（0，1）時，g（x）＞0，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（1，+∞）時，g（x）＜0，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
②當0＜a＜

1

2

時，
由f′（x）=0，x₁=1，x2=

1

a

-1．此時

1

a

-1＞1＞0，列表如下：
由表格可知：函數f（x）在區間（0，1）和(

1

a

-1，+∞)上單調遞減，
在區間(1，

1

a

-1)上單調遞增．
綜上可知：①當a=0時，當x∈（0，1）時，函數f（x）單調遞減；
當x∈（1，+∞）時，函數f（x）單調遞增．
②函數f（x）在區間（0，1）和(

1

a

-1，+∞)上單調遞減，在區間(1，

1

a

-1)上單調遞增．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．