Question

已知是二次函數，是它的導函數，且對任意的，恒成立．

（1）求的解析表達式；

（2）設，曲線：在點處的切線為，與坐標軸圍成的三角形面積為．求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】本題主要考查二次函數的概念、導數的應用等知識，以及運算求解能力．在解答過程當中，求導的能力、運算的能力、問題轉換的能力以及數形結合的能力都得到了充分的體現，值得同學們體會反思．

（1）可以現設出二次函數的表達式，結合信息獲得多項式相等進而利用對應系數相等解得參數，即可明確函數解析式；

（2）結合函數的解析式通過求導很容易求的在點P（t，f（t））處的切線l，由此即可表示出三角形的面積關于t的函數S（t）．從而利用導函數知識即可求得函數S（t）的最小值

解：（Ⅰ）設（其中），則，     ………1分

．

由已知，得，

∴，解之，得，，，∴．  ……4分

（2）由（1）得，，切線的斜率，

∴切線的方程為，即．    …………6分

從而與軸的交點為，與軸的交點為，

∴（其中）．                          ………8分

∴．                  ……………10分

當時，，是減函數；

當時，，是增函數．                  ……12分

∴．                         …………13分