Question

已知，其中a，b，x∈R．若f（x）=滿足f（）=2，且f（x）的圖象關于直線x=對稱．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）+log₂k=0在區間[0，]上總有實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，f（x）=，我們根據平面向量數量積公式，可以得到函數的解析式，（含參數a，b），進而根據f（）=2，且f（x）的圖象關于直線x=對稱．我們可以構造關于a，b的方程，解方程即可求出a，b的值．
（II）若關于x的方程f（x）+log₂k=0在區間[0，]上總有實數解，我們可以求出函數f（x）在區間[0，]上的值域，構造一個對數不等式，解不等式即可求出實數k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）=
由得，①
∵f（x）的圖象關于對稱，∴∴②
由①、②得，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=
∵，，
∴，f（x）∈[0，3]．
又∵f（x）+log₂k=0有解，即f（x）=-log₂k有解，
∴-3≤log₂k≤0，解得，即．
點評：本題考查的知識點是函數y=Asin（ωx+φ）解析式的求法，正弦型函數的值域，及對數的性質，其中根據已知求出函數f（x）的解析式是解答本題的關鍵．