Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米,/小時，研究表明：當時，車流速度v是車流密度的一次函數.
(Ⅰ)當時，求函數的表達式；
(Ⅱ)當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時） 可以達到最大，并求出最大值.（精確到1輛/小時）

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）當時，在區間[0,200]上取得最大值.即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時.

解析試題分析：（Ⅰ）由題意：當時，；當時，設
再由已知得，解得故函數的表達式為
（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得當時，為增函數，故當時，其最大值為60×20=1200；當時，當且僅當，即時，等號成立.所以，當時，在區間[20,200]上取得最大值.
綜上，當時，在區間[0,200]上取得最大值.即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時.
考點：函數模型，均值定理的應用。
點評：中檔題，函數的應用問題，要注意遵循“審清題意，設出變量，列出關系式，解，答”。確定函數的最值問題，較為常用的方法有，均值定理、應用導數研究函數的最值。應用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。