Question

設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a_{n + 1} = 2S_n + 2 (n∈N^*)．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)在a_n與a_{n + 1}之間插入n個數，使這n + 2個數組成一個公差為d_n的等差數列．
①在數列{d_n}中是否存在三項d_m，d_k，d_p (其中m，k，p成等差數列)成等比數列？若存在，求出這樣的三項，若不存在，說明理由；
②求證：．

Answer 1

（1） （2）不存在（證明見解析） （3）證明見解析

試題分析：（1）利用和等比數列的定義即可得出；
（2）利用等差數列的通向公式即可得出；
①假設在數列中存在三項（其中是等差數列）成等比數列，利用等差數列和等比數列的定義及其反證法即可得出；
②利用（2）的結論、“錯位相減法”和等比數列的前和公式即可得出.
試題解析：(1)解：由，得：
兩式相減：
∵數列是等比數列，∴，故
因此．
(2)解：由題意，即，故
①假設在數列中存在三項（其中是等差數列）成等比數列
則，即：  (*)
∵成等差數列，∴
(*)可以化為，故，這與題設矛盾
∴在數列中不存在三項（其中是等差數列）成等比數列.
②令
則
兩式相減得：
∴.