Question

已知且，數列滿足，，（），令，
⑴求證： 是等比數列；
⑵求數列的通項公式；
⑶若，求的前項和．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）當時，；當時，；
（3）.

解析試題分析：（1）根據等比數列的定義，只需證明是一個非零常數，∵=，∴是等比數列；
（2）由（1）可知，聯想到是常數），可利用構造等比數列求，∴兩邊同時除以，得，然后討論是否相等，當時，是等差數列，解得；當時，是等比數列，
（3）當時，，通項公式是等差數列乘以等比數列，可利用錯位相減法求和.
試題解析：(1),∴是以為首項，為公比的等比數列    3分；
（2）由（1）可得，∴，
①當時，兩邊同時除以，可得，∴是等差數列，
          6分
②當時，兩邊同時除以，可得，設，，
，∴是以首項為，公比為的等比數列，
，∴.            10分
（3）因為，由⑵可得


        14分.
考點：1、等比數列定義；2、構造法求數列通項公式；3、錯位相減法求數列前項和.