Question

（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐的底面為菱形，平面，， E、F分別為的中點，．

（Ⅰ）求證：平面平面．
（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）先證得．
再證得．由，證出平面，所以，平面平面．
（Ⅱ）平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．

試題分析：（Ⅰ）∵四邊形是菱形，
∴．
在中，，，
∴．
∴，即．
又，   ∴．…………………2分
∵平面，平面，
∴．又∵，
∴平面，………………………………………4分
又∵平面，
平面平面．  ………………………………6分
（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，
∴平面平面 ………………………7分
∵平面，∴．
由（Ⅰ）知，又
∴平面，又平面，
∴平面平面．…………………………9分
∴平面是平面與平面的公垂面．
所以，就是平面與平面所成的銳二面角的平面角．……10分
在中，，即．……………11分
又，
∴．
所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．…………14分

理（Ⅱ）解法二：以為原點，、分別為軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示．因為，，所以，
、、、，…………7分
則，，．………8分
由（Ⅰ）知平面，
故平面的一個法向量為．……………………9分
設平面的一個法向量為，
則 ，即，令，
則．    …………………11分
∴．
所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．……14分
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，本題解法較多二應用向量則簡化了證明過程。