Question

設(shè)F₁、F₂為橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的兩個焦點，P為橢圓上一點，已知P、F₁、F₂是一個直角三角形的三個頂點，且|PF₁|＞|PF₂|，則

|PF1|

|PF2|

的值為______．

Answer 1

∵F₁、F₂為橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的兩個焦點，
∴a=3，b=2，c=

9-4

=

5

，
∴F₁（-

5

，0），F(xiàn)₂ （

5

，0）．
當(dāng)PF₂⊥x軸時，P的橫坐標(biāo)為

5

，其縱坐標(biāo)為±

4

3

，
∴

|PF1|

|PF2|

=

2a- 4 3

4 3

=

6- 4 3

4 3

=

7

2

．
當(dāng)PF₁⊥PF₂ 時，設(shè)|PF₂|=m，
則|PF₁|=2a-m=6-m，3＞m＞0，由勾股定理可得
4c²=m²+（6-m）²，即 20=2 m²-12 m+36，解得 m=2 或 m=4（舍去），
∴

|PF1|

|PF2|

=

6-2

2

=2．
綜上，

|PF1|

|PF2|

的值為

7

2

或2．