Question

命題p：m≤t≤n，其中m，n分別是函數

x2+2x  x∈[-2，0) x          x∈[0，1]

的最小值和最大值，命題q：（t-1）²≥|z₁-z₂|，其中z₁，z₂∈C，z₁，z₂滿足條件|z1|=|z2|=

2

，|z1+z2|=2．若命題“p且q”為真，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：命題p：根據函數

x2+2x x∈[-2，0) x x∈[0，1]

，求得該函數的最大值和最小值，求得t的范圍；命題q：根據條件|z₁|=|z₂|=

2

，|z₁+z₂|=2求得|z₁-z₂|，解不等式（t-1）²≥|z₁-z₂|，求得實數t的取值范圍，而命題“p且q”為真，求交集即可．

解答：解：m，n分別是函數

x2+2x x∈[-2，0) x x∈[0，1]

的最小值和最大值，
∴m=-1，n=1，∴-1≤t≤1；
又∵|z1|=|z2|=

2

，|z1+z2|=2，
∴|z₁-z₂|=2，（根據復數的加法滿足平行四邊形法則）
由(t-1)2≥|z1-z2|?(t-1)2≥2?t≥1+

2

或t≤1-

2

，
∵命題“p且q”為真，∴命題p、命題q均為真，
∴

-1≤t≤1 t≥1+ 2 或t≤1- 2

?-1≤t≤1-

2

點評：考查復合命題的真假，和分段函數的最值問題（分段求得，再求最大的作為函數的最大值，最小的作為函數的最小值），以及復數的加法的幾何意義，屬基礎題．