Question

已知矩陣M=

2 0 1 1

：
①求矩陣M的逆矩陣M^-1；
②求矩陣M的特征值及相應的特征向量．

Answer 1

考點：逆變換與逆矩陣,幾種特殊的矩陣變換

專題：選作題,矩陣和變換

分析：①求出detM=2，可得矩陣M的逆矩陣M^-1；
②先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．

解答： 解：①已知矩陣M=

2 0 1 1

，∴detM=2，∴M-1=

1 2 0 - 1 2 1

…（3分）
②M的特征多項式f(λ)=

.

λ-2 0 -1 λ-1

.

=0，解得λ₁=1，λ₂=2
將λ₁=1代入二元一次方程組

(λ-2)•x+0•y=0 -x+(λ-1)y=0

解得x=0，（6分）
所以矩陣M屬于特征值1的一個特征向量為

ξ1

=

0 1

；（8分）
同理，矩陣M屬于特征值2的一個特征向量為

ξ1

=

1 1

（10分）

點評：本題主要考查矩陣M的逆矩陣、矩陣特征值與特征向量的計算等基礎知識，屬于基礎題．