Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，．
（Ⅰ）當a=1時，求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）若BC邊上有且只有一個點Q，使得PQ⊥QD，求此時二面角A-PD-Q的余弦值．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵PA垂直矩形底面ABCD，
∴PA垂直BD，
∵，
a=1，
∴AB=PA=BC，
∴底面ABCD為正方形，
∴BD垂直于AC，
∴BD垂直于△PAC，
∴BD⊥PC．
解：（Ⅱ）∵AB，AD，AP兩兩垂直，分別以它們所在的直線為x軸，y軸，z軸，
建立坐標系

令AB=1，則BC=a，
B（1，0，0），D（0，a，0），C（1，a，0），P（0，0，1），
設BQ=m，Q（1，m，0），（0≤m≤a），
要使PQ⊥QD，只要，
即m²-am+1=0，
由△=a²-4=0，得a=2，此時m=1．
∴BC邊上有且只有一個點Q，使得PQ⊥QD時，
Q為BC的中點，且a=2，
設面PQD的法向量，
則，即，
∴，
取面PAD的法向量，
則＜＞的大小與三面角A-PD-Q的大小相等，
∵cos＜＞==，
∴二面角A-PD-Q的余弦值為．
分析：（Ⅰ）由PA垂直矩形底面ABCD，利用直線與平面垂直的性質得到PA垂直BD，由a=1，知道底面ABCD為正方形，從而得到BD垂直于△PAC，由此能夠證明BD⊥PC．
（Ⅱ）由AB，AD，AP兩兩垂直，分別以它們所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立坐標系．借助空間向量先求出a=2，m=1．然后求出設面PQD的法向量，取面PAD的法向量，由此利用向量法能求出二面角A-PD-Q的余弦值．
點評：本題以四棱錐為載體，考查線面平行，考查線面角，考查面面角，綜合性強，難度大，容易出錯．解決問題的關鍵是建立空間直角坐標系，利用向量法進行求解．