Question

【題目】已知圓心在軸上的圓與直線切于點.

（1）求圓的標準方程；

（2）已知，經過原點，且斜率為正數的直線與圓交于兩點.

（ⅰ）求證： 為定值；

（ⅱ）求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析， .

【解析】試題分析：（1）由題意設，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為，解得，再由兩點的距離公式可得半徑，進而得到所求圓的標準方程；（2）（i）設直線的方程為，聯立圓的方程，可得的二次方程，運用韋達定理，即可證得為定值；(ii)由兩點的距離公式，以及韋達定理和基本不等式，化簡整理，即可得到所求最大值.

試題解析：（1）設圓心的坐標為，則，又，

由題意可知， ，則，

故，所以，即半徑. 故圓的標準方程為.

（2）設直線的方程為，

由 得： ，

所以， .

（ⅰ）為定值，

（ⅱ）

（當且僅當，即時等號成立）故的最大值為.