Question

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點(2，0)的直線與橢圓相交于兩點，設為橢圓上一點，且滿足（為坐標原點），當＜ 時，求實數取值范圍．

Answer 1

（1） ；( Ⅱ).

解析試題分析：（1）由題意知，所以．由此能求出橢圓C的方程．（2）由題意知直線AB的斜率存在．設AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0再由根的判別式和嘏達定理進行求解．
解：（1）由題意知， 所以．
即．    2分
又因為，所以，．
故橢圓的方程為．  4分
（2）由題意知直線的斜率存在.
設：，，，，
由得.
，.   6分
，.
∵，∴，，
.
∵點在橢圓上，∴，
∴. 8分
∵＜，∴，∴
∴，
∴，∴. 10分
∴，∵，∴，
∴或，∴實數t取值范圍為．（12分）
考點：1. 橢圓的方程；2.直線與橢圓的方程.