Question

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
（Ⅰ）求四棱錐S-ABCD的體積；
（Ⅱ）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求底面ABCD的面積，利用高是SA，可求四棱錐S-ABCD的體積；
（Ⅱ）延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)E，連接SE，SE是所求二面角的棱，說明∠BSC是所求二面角的平面角，解三角形BSC，可求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．

解答：解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面積是M_底面=

1

2

(BC+AD)•AB=

1+0.5

2

×1=

3

4

（2分）
∴四棱錐S-ABCD的體積是V=

1

3

×SA×M底面=

1

3

×1×

3

4

=

1

4

；（4分）

（Ⅱ）延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)E，連接SE，
則SE是所求二面角的棱（6分）
∵AD∥BC，BC=2AD
∴EA=AB=SA，
∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，
EB是交線．又BC⊥EB，
∴BC⊥面SEB，
故SB是SC在面SEB上的射影，
∴CS⊥SE，
所以∠BSC是所求二面角的平面角（10分）
∵SB=

SA2+AB2

=

2

，BC=1，BC⊥SB
∴tan∠BSC=

BC

SB

=

2

2

即所求二面角的正切值為

2

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，二面角及其度量，考查空間想象能力，理解失誤能力，是中檔題．