Question

某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池,池的深度一定,池的外圈 壁建造單價為每米400元,中間一條隔壁建造單價為每米100元,池底建造單價每平方米60元(池壁厚忽略不計).

(1)污水處理池的長設計為多少米時,可使總造價最低?

(2)如果受地形限制,污水處理池的長、寬都不能超過14.5米,那么此時污水處理池的長設計為多少米時,可使總造價最低?

Answer 1

思路解析：先求總造價與污水處理池的長的函數關系式.然后通過求函數的最值確定池長.第(2)小題的關鍵是判斷出函數的單調性.

解：(1)設污水處理池的長為x米,則寬為米.

總造價f(x)=400×(2x+2×)+100×+60×200=800×(x+)+12 000

≥1 600+12 000=36 000(元).

當且僅當x=(x＞0),即x=15時等號成立.

(2)記g(x)=x+(0＜x≤14.5),顯然是減函數,

∴x=14.5時,g(x)有最小值,相應造價f(x)有最小值.此時寬也不超過14.5.