Question

如圖，邊長為1的正三角形所在平面與直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分別是線段、的中點．

（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）．

試題分析：（1）由已知中F為CD的中點，易判斷四邊形ABCD為平行四邊形，進而AF∥BC，同時EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．（II）取AB的中點O，連接SO，以O為原點，建立如圖所示的空間坐標系，分別求出平面SAC與平面ACF的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角S-AC-F的大小．．
（1）分別是的中點，．又，所以．，……2分
四邊形是平行四邊形．．是的中點，．……3分
又，，平面平面……5分
（2）取的中點，連接，則在正中，，又平面平面，平面平面，平面．…6分
于是可建立如圖所示的空間直角坐標系．

則有，，，，
，．…7分
設平面的法向量為，由．
取，得．……9分平面的法向量為．10分
   …11分而二面角的大小為鈍角，
二面角的余弦值為 ．