Question

【題目】如下圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面平面， ， 為中點，且.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求證： ；

（Ⅲ）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）．

【解析】試題分析：(I)由中位線定理得出 ,故平面ACF;
（Ⅱ）由面面垂直的性質得出平面CDE,故而 ,又 ,于是平面DAE,從而 ;
（Ⅲ）過F作于點M，連接CM，,則可證平面ABCD,于是 為所求的線面角,利用勾股定理和相似三角形求出, ,得出 .

試題解析：（Ⅰ）證明：如下圖，連接BD和AC交于點O，

連接OF，

為正方形，

為BD的中點，

為DE的中點，

，

平面ACF，

平面ACF，

平面ACF．

（Ⅱ）證明： 平面CDE，

平面CDE，

，

為正方形，

，

，AD， 平面DAE，

平面DAE，

平面DAE，

．

（Ⅲ）解：如圖，過F作于點M，連接CM，

平面DAE， 平面ABCD，

平面DAE，

又平面， ，

平面ABCD，

是FC在平面ABCD上的射影，

是FC與平面ABCD所成角，

， ， ，

．